арифметика парных отношений

Связь «мультипликативных квадратов» с декартовой системой. (И подходы к получению кодов для четырёх матриц Уолша.)

Мы привыкли рассматривать центр декартовых координат, 
как точку (0, 0) или 
как унарную булеву функцию 00.

Теперь покажу четыре декартовы центра: 00, 01, 10, 11.

       1               0                1                0
       |                |                |                 |
1-(0, 0)-1   1-(0, 1)-1   0-(1, 0)-0   0-(1, 1)-0
       |                |                |                 |
       1               0                1                0

Унарные булевы функции получают такую интерпретацию на декартовых координатах (по осям рассматриваем только "единичные" точки):
а) пересечение декартовых координат в точке (0, 0) - на абсциссе единичные точки 1, на ординате 1;
б) пересечение декартовых координат в точке (0, 1) - на абсциссе единичные точки 1, на ординате 0;
в) пересечение декартовых координат в точке (1, 0) - на абсциссе единичные точки 0, на ординате 1;
г) пересечение декартовых координат в точке (1, 1) - на абсциссе единичные точки 0, на ординате 0.

Унарные коды 00, 01, 10, 11 булевой функции кодируют структуру булево кода бинарной булевой функции.

Отмечу, что перебор состояний истина-ложь (активность-пассивность) - это не пара X и Y, а сведение в четырёхуровневую шкалу всех четырёх унарных булевых функций.

Приведу классическое изображение для стрелки Пирса (http_title(вики)) или кода 0001:

X    Y    X ↓ Y 
0    0       1
1    0       0
0    1       0
1    1       0

новый подход для кода 0001 через унарные булевы функции:

00   1
10   0
01   0
11   0

Чтобы свести вместе четыре декартовых креста (наложить друг на друга), приходится переходить к «двойным точкам» на вершинах «ромбического квадрата» для кодирования его рёбер в бинарные булевы коды.

Обход квадрата против часовой стрелки от положительной абсциссы к положительной ординате. Кодирую рёбра такого квадрат по крайним точкам отрезка: 

1) четность 1 (крайний правый разряд бинарного кода), 
2) совпадение по абсциссе 1 или расхождение с абсциссой 0 (второй разряд кода справа), 
3) совпадение по ординате 1 или расхождение с ординатой 0 (третий разряд кода справа), 
4) крайний левый разряд инверсия декартовых осей для первой точки ребра квадрата: на абсциссе 1, на ординате 0: 

0101  | 1111
--------------------
1001  | 0011

1111 → 0101 → 1001 → 0011
составляю матрицу Уолша, выписывая коды по столбцам снизу вверх:
1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
1 0 1 0
или
1111 ← 0011 ← 1001 ← 0101
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
вторая вариация матрицы Уолша удобнее, она симметричная

(Всего четыре различных матрицы Уолша на 16 бинарных кодах.)