Нет смысла уподоблять структуры СДЛ (структурной двоичной логики) каким либо известным группам. Можно найти близкие группы Ли (F4, E8), но из них и на основе их «арсенала» добраться до структуры СДЛ не вижу возможным. Потому подстраиваться под классификацию систем корней Дынкина не буду.
Отмечу важный факт: то, что годится для небольших групп, в СДЛ подходит как для матрицы кватерниона, так и для седениона.
Стоит отметить особое свойство матрицы кватерниона в СДЛ – это цикличность. Каждая цепь кватернионов в таблице «Магического квадрата» описывает как отдельную матрицу кватерниона, так и все восемь производных матриц кватернионов.Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.
Можно сравнить с классическим представлением о четверной группе Клейна.
Четверная группа Клейна — группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре.Как видно из таблицы, элемент a0 является единицей группы. Группа Клейна является конечной коммутативной группой. Порядок каждого её элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической.
Стандартные «ортогонально-нормированные» подходы в представлении кватерниона расходятся с теми, что получены в СДЛ.
Существует 24 целых единичных кватерниона.
4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F4 как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой [?, дугой], образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.В СДЛ полный набор матриц кватернионов составляет 32.
(Кстати, там же)Компактная вещественная форма (комплексной) группы F4 является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как 'октонионная проективная плоскость', OP2.
Укажу на такое необычное свойство матриц кватернионов, как проявление векторных свойств по граням матрицы кватерниона, что позволяет использовать в отношении их понятие симплекса. Только традиционно понятие симплекса привязано к треугольнику, у меня – к квадрату.
Отмечу:
Симплициальный комплекс — множество симплексов, таких что:с любым из симплексов в комплекс входят все его грани;любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо они пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
Об использовании Алгебры Клиффорда и Алгебры Грассмана.
Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом.
Матрица 16*16 векторов позволяет только за счёт перемещения строк и столбцов получить все 8 (или если не учитывать поворот на четверть, то - 4) матрицы седениона с представлением всех 32 кватернионов. Бессмысленные образования легко отбросить, поскольку изначально определена структура каждого (из четырёх) спинового кольца. Именно используя только перемещение строк и столбцов, из произвольной таблицы 16 векторов можно получить все седенионы.Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства.
Каждый седенион представляют четыре кватерниона, взятых по одному как представление каждого (из четырёх) спинового кольца (смотрите цепи кватернионов в таблице «Магического квадрата»). Причём каждая матрица кватерниона имеет векторные свойства по своим граням. (Ещё раз отмечу, что каждый седенион представлен всеми четырьмя спиновыми кольцами.)
Цитаты из лекций (Широков Д.С.) :Алгебра Клиффорда была открыта английским математиком Вильямом Клиффордом в 1878 году как алгебра, объединяющая свойства алгебры Грассмана и кватернионов Гамильтона.Отметим, что алгебра Грассмана … является частным (вырожденным) случаем алгебры Клиффорда … .
Введение в алгебре Клиффорда операции внешнего умножения для четырёх генераторов («четырёхмерность») приводит к появлению коэффициента 1/24, что рассматривается следствием набора перестановок этих четырёх генераторов и потому определяется как факториал 4 (4!).
В СДЛ манипулировать комбинаторикой перестановок нельзя!
Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы (теорема Кэли).
Лёгкого применения стандартного изоморфизма в СДЛ не найти.
Полноторие (полноторий) — геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности. Фундаментальные группы и группы гомологий полнотория и окружности изоморфны.Таблицу «Магического квадрата» можно склеить по параллельным граням в цилиндр и далее свернуть в тор. Спиновые окружности на торе будут представлены замкнутыми.
Только надо иметь ввиду следующее положение, что каждая спиновая окружность может рассматриваться как лента Мёбиуса с четырьмя полуоборотами.
